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宝剑锋从磨砺出 ------记汕尾籍数学家杨必成教授

2022-09-06 来源:  浏览:    关键词:数学家杨必成

一、一波三折求学路

在广东汕尾市区风光秀丽的品清湖畔,有三座独立的小山丘,一为屿仔小岛;二为隔一港湾的鼎䃭山;三为以此相连的小山头凤山,山脚下就是凤山妈祖庙。抗日时期,日本军队侵占汕尾期间,占用了凤山祖庙旁边的民居杨家大院“送合围”作为驻地。杨家大院始建于民国十三年(1924年),范围内占地约2200平方米,四周有高高的围墙,大宅门里边分布着六栋四合院,大小53间房屋,整体布局属潮汕地区民间建筑风格中的“三街六巷”格式。日本军队住进去后,杨家族人被赶出外头,四处流离失所,至日军投降,族人们才回到祖屋居住。日子安定了,第二年,1946年的农历八月十八日,一个小生命出生了,他——就是杨必成。杨必成家的民居周边,还有天主堂、文亭学校(前身为凤山书院)、佛祖庙、城隍庙、三山国王庙等,旧时沿海地区封建迷信盛行,“泛神论”使儒教、佛教、道教、神教、天主教等各种民间信仰互相兼容,形成了独特的民风民俗。

少年必成出生于知识分子家庭,父母亲是中、小学教师,注重家教。杨必成从小就接受到良好的家庭教育,小学时学习算术、四则运算及做应用题;1958年秋入读汕尾中学初中班,学习初等数学。当他在课堂上听着数学老师讲课,讲到数学是一把“开启知慧的钥匙。数学作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志,縝密周详的推理以及对完美境界的追求”时,就迷恋上了这一学科。在求知欲极强的杨必成看来,稀奇古怪的数字符号是那样地獨特、状态各异的几何图案是那样地优美、公式运算是那样地环环相扣,慢慢地,他就喜欢上抽象的数字运算。

然而,进入初中的第二年,家庭就碰到了厄运。任教于海丰师范学校的父亲(81年离休),在审干运动中因所谓的“历史问题”被开除出队,家庭一下子失去了主要经济来源,日子过得越发艰难了!初中毕业时,他虽成绩优秀,也因父亲的影响,过不了政审关——考不上高中。那时候恰是“三年经济困难时期”,刚满15周岁的杨必成回到家庭,成了家里的主要劳动力,帮助母亲挑起了维持家庭生计的担子。必成下面还有5位年幼的弟妹,父亲失业,单靠当小学教师的母亲一个人微薄的工资收入,根本不够花销。况兼汕尾镇是一个小地方,没有什么象样的工厂和企业,主要的谋生手段就是“打杂”了——到工地做建筑小工、上山砍柴割草、下海摸鱼虾捞贝壳、到野外挖野菜、捡杂粮,后又到小学当校工、做勤杂,帮家庭渡过了那段难熬的岁月,这使少年必成体验到生活的艰辛。

在社会摸爬滚打了二年时光,到1963年秋,家里总算有了转机:失业在家的父亲由汕尾镇照顾安排当了小学民办教师;大哥杨必胜在北京大学中文系毕业,留校当了助教,也有了一点收入帮助家庭。困难时期过后,听说社会青年也可以参加中考,父亲就鼓励必成复习初中教材,参加了中考。1963年秋天,杨必成在中断学业二年后,又终于旧梦重圆,幸运地入读汕尾中学高中班。他十分珍惜这失而复得、重新学习的机会,就拼着命往书中钻。这时,在北京大学任助教的大哥,给杨必成寄来了一套(12本)由华罗庚等数学家编写的、适合中学生学习的普及数学知识读本。杨必成如获至宝,细心阅读,他被古今中外献身科学的数学家治学精神所感动,暗下决心,要像华罗庚一样,长大后当一名科学家。三年高中学习,特别在数学方面,他总是提前预习,再在课堂上听讲巩固知识,认真做好课后练习题。高考前夕,他把苏联编辑的一本《试题汇集》的所有高考数学习题全部做完。正当他满怀信心,准备着数天后的高考时,等来的却是“停课闹革命”的文革厄运。

杨必成那年刚好20周岁,思想单纯,青春的激情正在燃放,忽然之间,天和地撕裂,国家遭难了,覆巢之下无完卵,恶梦来临,理性和感情发生了碰撞。在校园里,杨必成被定为“走白专道路的典型”上了大字报,双亲也被打成了“黑帮”,遭遇关斗打。不由得唉叹:“如何正负颠颠倒,公式哪条能解疑?”要命的是,1967年8月武斗升级,杨必成的头部被暴徒的棍棒打伤了,留下了“脑震荡”后遗症。从此,头痛、失眠伴随着他,只好转到广州求医。幸经亲戚引荐,杨必成遇到了贵人,认识了任教于暨南大学医学院的简行简老中医。简医生用中药治疗,专注于帮助大脑功能的恢复,消除淤积炎症。服了9帖中药之后,竟然出现了奇迹,脑痛病慢慢有了好转。

1968年12月,22岁的杨必成下乡务农。糟糕的是双亲被清理出队后也要下乡,没办法,一家八口人来到海丰县公平公社“九龙垌”山区里插队务农。杨必成带着弟妹,陪伴着年老的双亲,担负起了“理家事”的重担。在交通不便、物质匮乏、生产力低下的山区,仍旧属于“刀耕火种”的境况,日子虽能苦挨着挺过去,但穷山僻野的山村却不是“世外桃源”,厄运总是跟着杨必成。在那个阶级斗争年代,他被归入另类、编入另册、进学习班、入收容所,更遑论当乡村民师了。人祸受够了,天灾也来为难他。1971年夏,在一次野外出差时,他被雷电击昏,雷伤诱发了4年前的脑伤头疼,脑瓜遭受了双重打击。入院期间,每晚只能靠着安眠药才能入睡,刚满25周岁的他,几乎就成了半残疾。

可再难,日子总得过下去,走投无路的他,为寻求心灵的籍慰,只能在劳作之余、脑痛过后,在农家茅屋的煤油灯下,啃起了“天书”

——大串连时期在广州旧书店买的一本《高等数学》,演算着微积分习题,脑袋似乎不那么痛了,终于自学了大学“微积分”。在当了七年农夫之后,1975年,他被招工回城当了民办教师。1977年底,全国恢复高考,已过“而立”之年的单身汉杨必成也报了名,伴随着千军万马过独木桥,他以数学满分(200分)的成绩,就象“范进中舉”一样,被录取到了华南师范学院数学系。命运向他开了一个玩笑,从1958年入读初中到1978年进入高校,整整二十年才圆了大学梦。

1978年的早春二月,年过卅岁的单身汉杨必成,入读了华南师范学院数学系,虽然人生最宝贵的青春年华已过,可潜心治学的机会还是到来了。杨必成认准了“大学才是个人聪明才智得以自由发展的新天地”,下决心努力学习数学知识,刻苦攻关! 刚刚恢复高考后招生的大学校园,用“饥渴”来形容那代莘莘学子们的求学精神是恰如其分的。每天天蒙蒙亮,校园各处就闪动着学子们的身影,到处书声琅琅,晚上更是燃烛夜战。学生饥渴,老师也饥渴,歇了十多年的老教授们,何尝不是珍惜每一秒钟,迫不及待上讲台为学生传道授业解惑啊!杨必成白天除了三餐和定时的运动外,余下的时间都扑在学习上,宿舍—-教室—-图书舘,三点成一线。当时华南师范学院数学系设有二个“师资班”,办师资班的目得就是选拔一批品学兼优的学生向广东各高校输送后备教师。师资班的任课教师都是系里特别指派的佼佼者,实力雄厚,且多是名教授,平时考试也是单独命题。杨必成因成绩优异被选进了师资班。学习过程中,有些人因受不了处于高负荷学习的苦头,半途退出,杨必成却把他看成是人生的一大幸事。这段时间,杨必成做完了《数学分析习题集》(苏联吉米多维奇编)的4千多条习题。师资班的学习,夯实了他的高等数学基础。大学期间,杨必成虽学习认真, 但由于脑伤的原因,且年龄偏大,毕业后他考不上研究生,被分配到广东教育学院(现广东第二师范学院)新设立的数学系函数论教研室任教。从此,在学院里,他开始了四十年的“磨剑”历程。

二、四十年磨一剑

1982年1月,杨必成大学毕业,取得理学学士学位,也结了婚,在广东教育学院任助教的他,日子总算安定下来了。然而,大学期间,他仅学习了纯粹数学和应用数学的基础知识,无法深入到数学迷宫里探索数学奥秘。从教二年半后,他萌发了继续深造学习的念头。1984年秋,他不失时机地考入了华南师范大学“助教进修班”,脱产进修“基础数学”硕士生课程。在短短一年半的时间里,他刻苦攻读了6门“基础数学”课程及1门英语,并获结业。1986年,进入不惑之年的杨必成开始思考与分析学有关的数学研究课题。在助教班结业时,他写了第一篇关于拓扑学的数学论文,在华师大左再思教授的推荐下,发表在《高师数学教学研究》杂志上,由此开始了他的科研生涯。就在这一年,中国数学会加入了“国际数学联盟”,开始了国际数学交流,为中国数学与世界接轨打开了通道。

从华南师范大学进修班结业回到学院后,在无适合主攻方向的情况下,于教学之余,他又花了近二年时间,演算“助教进修班”中未做完的大量《泛涵分析》习题,且自学了《线性拓扑空间》一书,间或研读了数学史、数学方法论方面的书,并写出讲义,为90级的两个本科班上选修课,向学员们系统讲授微观及宏观的数学思想方法,并开始有意识地寻找科研突破口。在学习世界数学史时,他常常为古今中外的数学家们那种对数学真理的执着追求所感动。他也深刻地认识到:数学这门学科就象接力跑,前人创造的成果,往往是多年以后才得到应用,而每一代人都是在以前的数学建筑上添砖加瓦,慢慢传承下去。由于科研经验积累不够,加上头痛失眠症不时困扰他,特别是在深入研究课题时,头就痛得受不了,这使他没有足够的精力理解数学文献的精髓,至1993年,他每年发表一篇论文,算是交差。这段时期,虽然周围的环境也不乏困惑,脑伤病痛不时折磨着他,但他坚信“磨刀不负砍柴人”,总有春暖花开那一刻的到来。

为学最重要的途径莫过于结交良师益友。1990年,杨必成盼来了良师——中科院数学研究所函数论教研室主任吕以辇研究员。吕以辇是杨必成的同乡,五十年代杨必成父亲教中学时,吕曾经是他的学生。多年来,吕利用来广州中山大学讲学的机会,指导杨必成开展可和性的理论应用研究,并鼓励他脚踏实地治学钻研。不久,他对级数求和的估值理论产生了浓厚兴趣,试着用改进的Euler-Maclaurin公式解决一些与幂和有关的古典数学问题,在吕以辇研究员的指导下,他首次在核心期刊《数学的实践与认识》发表了研究论文。然而,天不从人愿,年长于他十岁的吕雨辇研究员,却患了“小脑痿缩”症,于1996年英年早逝,这使杨必成失去了一位良师益友,令他分外悲痛。

1992年,杨必成经十年申请入了党;1993年底,他被评上了副教授。1994年底,命运之神开始眷顾他了,二十七年前的脑伤病痛,在对他进行漫长的折磨后,竟慢慢地、奇迹般地消失了!受伤前良好的记忆力和充沛的精力也神奇地恢复了,他发觉自己已不再失眠,头也不痛了,过去萎靡的神情一扫而空,并产生了强烈的科研冲动。于是,他就到图书馆查阅相关期刊,寻找自己感兴趣的研究课题。经过三个多月的耐心检索及细致分析,他终于把目光收拢到Hilbert不等式的论题上。从此,冥冥之中他与一百多年前的一位数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862-1943年)结缘,找到了攀登数学高峰的突破口,他精神振奋,进入了一种忘我的思想境界,全身心地投入Hilbert型不等式理论及应用的研究探索中去。

二十世纪初最伟大的数学家大卫·希尔伯特,数学界称他为“无冕数学之王”。远在1900年8月8日,他在“第二届国际数学家大会”上的演讲中,高瞻远瞩地提出了20世纪数学家应努力去解决的23个数学难题,他的演讲成为引领20世纪数学研究的重要指南。1908年,伴随着《实变函数论》的诞生,他又发表了以其名字命名的“Hilbert不等式”,该不等式的奇妙之处,在于将二个互不关联的实赋范空间,建立起最佳的算子联系。由于理论背景过于深奥,引来不少研究者的关注。1925年,英国数学家哈代(G. H. Hardy, 欧洲数学会主席,华罗庚留学剑桥大学时的老师)引入一对共轭指数,成功推广了Hilbert不等式,史称“Hardy-Hilbert不等式”。1934年,哈代等在数学名著“Inequalities”中,归纳了100多篇发表论文的研究思想,使关于-1齐次核Hardy-Hilbert型不等式的基本理论大致完成。遗憾的是,名著中大部分定理没有给出证明,此后的半个多世纪,随着《泛函分析》与《算子理论》等近代分析学科的蓬勃兴起,该类不等式虽得到广泛应用,但其本身却无甚变化,处于理论发展的“沉寂期”。

1991年,我国著名数学家,中科院数学研究所顾问徐利治教授,在数学核心期刊发表2篇论文,首倡了权系数的方法。徐从构造权系数入手,巧置分解式,对Hilbert不等式及Hardy--Hilbert不等式作了加强型的改进,还提出2个公开问题,征求加强不等式中内常数的最佳值。1994年底,杨必成脑病痊逾后,偶然的机会,他阅读到了徐教授发表的论文,产生了极大的兴趣和科研冲动。他利用改进的Euler-Maclaurin公式,解决了徐教授的第一个公开问题,求出了加强Hilbert不等式内常数的最佳值,并整理成论文,然后,他把论文寄给时在大连理工大学任教的徐教授。半个月后,徐教授来信了,他称赞杨必成的分析技巧,并告诉他该结果已由湖南吉首大学的高明哲老师解决并已公开发表,信中还附上了美国《数学评论》对该文的评论。杨必成看信后对论文“撞车”深感失望,但亦对自己的科研能力增强了信心,毕竟一开始所写的论文已上了“档次”。

经历了多次的投稿退稿后,杨必成发觉,仅靠埋头苦干搞科研是不行的,研究的过程需要最新的资讯帮忙及同行的扶助。很快,他学会了使用电脑及互联网以开展数学研究及交流。在徐教授的热心介绍下,杨必成与高明哲建立了友谊联系,还认识了湖南师大的匡继昌教授及江西师大的胡克教授,细读了匡教授的专著《常用不等式》及胡克教授的“解析不等式”专著,终于了解到该领域的研究背景及现状。1997年,杨必成与高明哲教授的合作论文《关于Hardy-Hilbert不等式的一个最佳常数》,终于在国家权威刊物《数学进展》发表;1998年,《美国数学会会刊(PAMS》亦发表了他们的这类合作成果,该类成果圆满解决了徐教授的第二个公开问题。此后,国内不少学者应用权系数的方法以改进Hilbert不等式及Hardy-Hilbert不等式,得到了大量加强型的研究成果。这一时期的研究说明,通过合理配方产生权系数,并辅以分析技巧,从而建立加强型的Hilbert不等式或Hardy-Hilbert不等式,这就是所谓权系数方法,它是推动Hilbert型不等式研究的重要方法。以上工作可认为是Hilbert型不等式理论研究的预备阶段,它为下面五个阶段的研究吹响了集结号。

第一阶段(1998-2003年):起——引入独立参量

1998年,杨必成的论文首次发表在美国SCI期刊《数学分析及应用杂志(JMAA)》上,该文成功推广Hilbert积分不等式。通过巧妙配方,杨必成用改进的权系数方法伴之以引入独立参数及Beta函数,创造性地把对-1齐次核Hilbert不等式的研究提升到对一般负数齐次核的相关不等式研究,从而拓宽了研究渠道,开启了对Hilbert型不等式的全方位、多角度探索。论文发表后,美国《数学评论(MR)》及欧洲《数学文摘(ZM)》均对此文作了及时、详细的评论。由此引起不少研究者的引用及关注,并导致不少引入独立参数的最佳推广成果发表。这样一来,杨必成的独立参量思想联系上Beta函数的论文陆续在SCI期刊上及时登载,终于取得了科研突破。这一“破局”使他的科研之剑越磨越明亮了。同年,由于科研业绩突出,他顺利地被评为数学教授,并被吸收为美国数学会会员。

1999年至2003年,《数学学报》及国外一些权威刊物陆续发表了杨必成的研究论文,他的独立参数思想很快得到国内外数学界的认同。他从连续到离散,从二重到多重,建立了一系列引入独立参数的等价不等式。2003年,杨必成与希腊数学家Th. M. Rassias教授合作,在SCI期刊《数学不等式及应用(MIA)》发表了长达34页的综述论文,对百年来特别是近十多年来关于Hilbert型不等式的引入独立参数的研究作了系统小结。此后,国外如克罗地亚等国家,相继建立起Hilbert型不等式研究团队,发表该领域的研究论文。这一阶段,杨必成的发表论文有14篇为SCI收录。

第二阶段(2004-2006年):承——形成参量化数学思想方法

2004年春,偶然的机会,杨必成发现Hilbert不等式的引入一对共轭指数的最佳推广式并不唯一,出现了Hardy-Hilbert不等式的对偶形式,他把论文投寄到SCI期刊《匈牙利数学学报(AMH)》上并及时得以发表。年底,经过反复研究探索,他优化权系数的方法,大胆引入两对共轭指数,配合独立参数,终于科学表示了推广的Hilbert不等式,彻底解决了最佳推广式的唯一性问题,论文发表在《澳大利亚数学分析及应用杂志(AJMAA)》上。2005年,杨必成应用准备阶段关于加强型的研究方法及参量化思想,构造了逆向的Hilbert不等式,由此开辟了Hilbert型不等式的新研究路径。所谓参量化方法,就是在核中引入独立参量,辅以二对共轭指数,构建具有最佳常数因子的Hilbert型不等式。这一阶段,杨必成的发表论文有17篇为SCI收录。

第三阶段(2007-2015年):转——不等式的抽象化、系统化刻画

2006年底,受英国数学家K.W.Zhang用算子理论改进Hilbert不等式的论文影响,杨必成用算子范数表示Hilbert型不等式的最佳常数因子,在一般的双线性核上讨论了Hilbert型算子的范数性质及在建立等价不等式方面的应用。计有包括《数学分析与应用杂志(JMAA)》及《数学学报(英)》在内的近8家SCI期刊发表了他在这方面的研究论文。2007年,杨必成发表了一个实数齐次核的Hilbert型不等式,该文说明,并不是所有Hilbert型不等式的核都是负数齐次的,确实存在实数齐次核的Hilbert型不等式,这为拓展Hilbert型不等式的理论作了准备。工夫不负有心人,杨必成终于在算子理论与Hilbert型不等式这一领域推广及改进了哈代等于1934年的发表工作,填补了该领域六十多年的理论空白,并取得多项国际领先的研究成果。 2008年7月,杨必成远涉重洋,应邀在“第五届非线性分析国际会议”(美国)作45分钟发言,系统总结参量化思想与抽象化算子刻画在Hilbert型不等式理论的应用。这一攻坚阶段的研究特色是,用一类线性有界算子刻画一般实数齐次核Hilbert型不等式的等价形态,并把Hilbert型不等式的不同分类拓宽到12种。 2009年5月,杨必成在权威期刊《数学进展》上发表了《参量化Hilbert型不等式研究综述》一文,以纪念Hilbert不等式诞生100周年。

有了前面抽象化、系统化研究工作积累,杨必成开始著书立说,建立系统的Hilbert型不等式理论。2009年1月,科学出版社出版了他长达47万字的理论专著《算子范数与Hilbert型不等式》,该书主要论述负数齐次核的Hilbert型不等式及其多方面应用;2009年底,总部设在阿联酉的国际科学出版社(Bentham Science Publishers Ltd.)出版了他的英文数学专著“Hilbert-Type Integral Inequalities”,该书论述实数齐次核的Hilbert型积分不等式及其算子刻画;2011年,同一出版社出版了他的第三本专著“Discrete Hilbert-Type Inequalities”,该书主要论述实数齐次核离散的Hilbert型不等式及其算子刻画。上述三本书,均是以权系数方法、参量化思想及算子理论为主要工具,从不同侧面、不同角度论述Hilbert型不等式及算子应用的理论专著。此后,2012-2014年,杨必成还在德国出版了二本半离散不等式理论专著及在新加坡出版了一本系统论述半离散Hilbert型不等式及算子应用的专著。这一时期,短短8年中,杨必成出版了6本数学专著及发表论文被SCI收录达60篇。

第四阶段(2016-2020年):合——参量与最佳常数的等价陈述

在洪勇教授2016-2017年2篇发表论文的的影响下,杨必成探索了多个门类Hilbert型不等式中最佳常数因子联系多参数的等价陈述,使参量配置达到完备化程度。这样,前4个时期的研究形成了“起--承—转--合”的理论描述形态。

2018年及2020年,杨必成在哈尔滨工业大学出版社出版了2本中文专著;2019年,杨必成的第9部专著“On Hilbert-Type and Hardy-Type Integral Inequalities and Applications” 在全球最高规格的“Springer”科学出版社出版。杨必成的数学思想和数学理论专著引起了国际上数学界及位于世界数学中心的美国数学界的关注。2020年,美国科学研究出版社邀请杨必成出版了2部数学理论专著。杨·希尔伯特不等式理论(科技日报2013年9月18日语)终于创立,它证明中国人在科技理论系统的建立方面是大有作为的。这一时期,杨必成出版了5本数学专著及发表论文被SCI收录达74篇。

第五阶段(2021-2022年):用——建立新型不等式

2021年至今,应用指数函数联系部分和的表示公式,Abel公式及Euler-Maclaurin求和公式,杨必成发表论文,求出类似于离散Hardy-Hilbert不等式的联系部分和的新型不等式。不久,半离散及积分的新型不等式及逆式也陆续求出来了。这一时期,杨必成在美国及新加坡科学出版社又出版专著2部,发表论文被SCI收录达25篇。

三、思维独帜一旗红

总计上述5个时期的研究成果,杨必成出版专著13部,参编专著17部(含20章,主要为Springer出版社),发表论文560篇,其中被SCI收录达190多篇,发表在中国权威刊物17篇(非SCI),计发表论著字数超过一千万字。爱因斯坦曾说过:人的差异产生于业余时间,业余时间能成就一个人,也能毁灭一个人。四十年来,杨必成的主业是教书,在飞扬着粉笔灰的三尺讲台上挥洒汗水、传道授业,可他善于利用业余时间“搞副业”,秉承着当初上山下乡务农时的农夫本色,自1986年发表了第一篇论文以来,利用农夫的韧劲,在自己的“一亩三分自留地”里勤奋耕耘,发表高产优质的数学论著,终于华丽转身,走上了一条从草根——农夫——园丁——论著专业户的理论数学家的发展道路。数学无国界,数学家有国籍。长期以来,杨必成不断磨剑,试图以东方思维演绎西方数学理论,将西方哲学中的“三段论”与东方传统文化中的“起、承、转、合”渗透交融,中西结合,创新了数学不等式理论。

近年来,总理在考察北京大学数学科学院时说过:数学是自然科学的皇冠,是其他科学研究的主要工具。基础数学研究在我国是薄弱环节,对许多领域形成瓶颈制约。需要一批人静下心来把“冷板凳”坐热。四十年来,杨必成以善待冷落的心态不停地磨剑,“数”写精彩人生。2006年3月12日,杨必成的大学同窗李莉丹老师,在《汕头特区晚报》刊载了《老同学 两百分》的文章,介绍了杨必成“不蒸馒头蒸(争)口气的治学事迹。此后十多年里,杨必成的治学精神,得到了国内媒体的肯定。计有《科技日报》、《科技文摘报》、《中国新闻》、《中国年鉴》、《中国改革报》等几十家报刊杂志,陆续刊登了近80篇采访报道文章。近年来,人民日报社等近30家大型网站也陆续刊发了该类报道。2021年10月,中宣部、科技部 “我是科学人”栏目组,联合录制了对数学家杨必成教授的采访视频,挂上了《学习强国》等网站。

2002年秋,杨必成参加了在北京举行的“第二十四届国际数学家大会”,会上有幸与美籍华人,国际数学大师陈省身院士同组讨论,并与之合影。陈老先生一直疾呼:“我们的希望是21世纪看见中国成为数学大国”;数学大师邱成桐院士亦说:“中国只有成为数学大国,才能成为科技强国”。而杨必成十分珍惜的是:能在有生之年看到中华民族的伟大腾飞,能在数学王国的金字塔上添一块砖、加一片瓦,心愿足矣!(文/杨建成 转载于《时代潮人》2022年第2期,第35-第41页)


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